Sinová a Kosinová věta

Sinová věta

V trojúhelníku ABC s úhly α β γ platí:

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}

Důkaz

Tuto větu dokážeme díky našim znalostem o pravoúhlých trojúhelnících. Bod P je pata výšky na stranu c.

Sinová věta
|CP|=|AC|*sin(α)
|CP|=|BC|*sin(β)
|AC|*sin(α) = |BC|*sin(β)
b*sin(α) = a*sin(β)

Díky této větě můžeme zároveň vypočítat poloměr kružnice opsané danému trojúhelníku.

Průměr =

\frac{a}{\sin\alpha} r=\frac{a}{2\sin\alpha}

Do tohoto vztahu můžeme samozřejmě dosadit další dvojice stran a úhlů (b a βc a γ).

Příklady

Je dáno: β = 60°γ=100° a a=2.6. Najděte délku strany c. Jelikož je toto článek o sinové větě, je tedy jasné, že k vyřešení tohoto problému musíme použít sinovou větu. Prvním krokem je ale nalezení velikosti úhlu α180-(γ+β) = 20°. Nyní dosadíme do vzorce:


\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}\\\frac{2.6}{\sin 20^{\circ}}=\frac{c}{\sin 100^{\circ}}\\c=7.49

Pokud jsou zadány dva úhly a jedna strana, situace je jednoduchá. Pokud jsou ale zadány dvě strany a úhel, který není mezi nimi, nastává malý problém. V tomto případě musíme před výpočtem testovat; buď získáme jeden, nebo dva trojúhelníky. V některých případech dokonce daný trojúhelník neexistuje. Testování probíhá následujícím způsobem:

  • Tupý úhel
    • Pokud je strana protilehlá k danému úhlu větší než druhá strana, existuje jedno řešení.
    • Pokud je strana protilehlá k danému úhlu menší nebo rovná délce druhé strany, není žádné řešení.
  • Ostrý úhel
    • Pokud je strana protilehlá k danému úhlu větší než druhá strana, existuje jedno řešení.
    • Pokud je délka protilehlé strany k danému úhlu menší nebo rovna než druhá strana musíme testovat (předpokládejme, že strana b je přilehlá strana a strana a je strana protilehlá):
      • \frac{a}{b}=\sin\alpha – jedno řešení
      • \frac{a}{b}>\sin\alpha – existují dva trojúhelníky
      • \sin\alpha>\frac{a}{b} – neexistuje žádné řešení

Je dáno: α = 48°a=12b=13. Úhel je ostrý a protilehlá strana je menší než strana přilehlá → musíme testovat. \frac{a}{b}=0.92\sin 48^{\circ} = 0.74 → 0.92 > 0.74→ existují dvě řešení. Začneme tak, že nalezneme úhel β\frac{\sin\beta}{13}=\frac{\sin 48^{\circ}}{12} \rightarrow \beta = 53.6. Nalezli jsme úhel β1. Pro druhé řešení bude hodnota tohoto úhlu logicky jiná; velikost úhlu β2 je jednoduché: β2=180-β1=126.4. Nyní by stačilo dořešit trojúhelníky, ale to už je jednoduché a proto to zde nebudu rozepisovat.

www.ucseonline.cz 

Kosinová věta

Pro trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ platí následující věta:


a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\\b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\\c^2=b^2+a^2-2ab\cos\gamma

Pythagorova věta je odvozena z kosinovy věty. Schválně zkuste ve vzorci c2 = b2 + a2 - 2*a*b*cos(γ) dosadit za γ = 90°. Jelikož cos(90) = 0, můžeme škrtnout -2*a*b*cos(γ) a zbude nám pouze Pythagorova věta c2 = b2 + a2

Je dáno: γ = 100.5°a=1.2 a b=2.6. Najděte délku strany c:


c^2=b^2+a^2-2ab\cos\gamma\\c=\sqrt{2.6^2+1.2^2-2*1.2*2.6*\cos 100.5^{\circ}}\\c=3.1

Je dáno: a=20b=18 a c=13. Určete velikost úhlu α.